曲線の回転数 閉曲線I_ε,R∪Γ_∪C_ε,R∪C_ε

2の問題文は、lim[ε→+0]∫_C_ε。複素関数
f(z)=(e^(3iz) 3e^(iz)+2)/z^3考える
但、i虚数単位表す 、R>ε>0対て、

Γ_R={Re^(iθ)∈C ;0≤θ≤π}
C_ε={εe^(iθ)∈C ;0≤θ≤π}
I_(ε,R)={x∈R;ε≤x≤R}
J_(ε,R)={x∈R; R≤x≤ ε}

、閉曲線I_(ε,R)∪Γ_∪C_(ε,R)∪C_ε反時計回りなるよう向き定める 以下の問答えよ

(1) lim[R→∞]∫_(Γ_R) f(z)dz 求めよ
(2)lim[R→∞]∫_(C_ε) f(z)dz求めよ
(3)広義積分
∫[0,∞] (sin(x))^3/x^3 dx求めよ

(2),(3)自分で解いて答えたどり着きません 方か解説お願います 曲線の回転数。これから閉曲線の特徴が数学的にどのようにして捉えるのかを説明しましょう.
まず曲線に角,=θ,θ を使うと となることは
ご存知でしょう.例えば, θ が π 増えることは,反時計回りに向きが一周
したことを意味し, θ?θ は始点から終点までに自分が回った量を表してい
ます.

角運動量の向き。角運動量を図示する場合,通常,図のように点 を始点としたベクトルで表す
位置ベクトル の始点を角運動量の始点とは の向きに進む右ネジの回転
方向と一致するベクトル の先から回転面を見ると反時計回りの向きである
.予想と逆方向に回転する銀河。一見すると反時計回りに回転しているようだが。実は時計回りに回転しているの
だ。 の写真 写真提供。
/。謝辞。 , ,銀河を
飲み込んだことが推測されるが。これは銀河の中心部分をより詳しく研究する
ことで明らかになるだろう。 。 //
/; 。

2の問題文は、lim[ε→+0]∫_C_ε fzdz の誤記と解釈します。この2は、1と同様の評価では粗すぎて∞に発散してしまいますので、極限操作を行ってから定積分します。1z=Re^iθ のとき、fz=e^3iz-3e^iz+2/z^3=e^3iRcosθ+isinθ-3e^iRcosθ+isinθ+2/R^3≦{e^-3Rsinθ+3e^-Rsinθ+2}/R^3だから、∫_Γ_R fz dz≦∫_Γ_R fz dz≦∫[θ=0→π] {e^-3Rsinθ+3e^-Rsinθ+2}/R^3?Rdθ=1/R^2∫[θ=0→π] {e^-3Rsinθ+3e^-Rsinθ+2} dθ1/R^2{2∫[θ=0→π/2] {e^-3Rsinθ+3e^-Rsinθ} dθ + 2π}2/R^2{π/6R+π/2R+π} ∵Jordanの不等式=4π/31/R^3+2π/R^2→0 R→∞∴lim[R→∞]∫_Γ_R fzdz=02fz=e^3iz-3e^iz+2/z^3={e^iz-1}^2?{e^iz+2}/z^3gz=e^iz とおくと、微分の定義式から、lim[z→0] {gz-g0}/z=g'0=iε→+0 のとき、z→0 で、dz=iεe^iθdθ=izdθ だから、lim[ε→+0] ∫_C_ε fzdz=lim[z→0] ∫[θ=π→0] {gz-g0/z}^2?gz+2/z?izdθ=i?lim[z→0] ∫[θ=0→π] {gz-g0/z}^2?gz+2 -dθ=-i?∫[θ=0→π] {g'0}^2?{g0+2} dθ=-i?∫[θ=0→π] i^2?3 dθ=3πi3閉曲線I_ε,R∪Γ_∪C_ε,R∪C_ε において、fzは正則だから、? fz dz=0複素関数fzは実軸上で、fz={e^3ix-3e^ix+2}/x^3={cos3x-3cosx+2}/x^3 + i{sin3x-3sinx}/x^3={cos3x-3cosx+2}/x^3 – 4isinx^3/x^3∫[J_ε,R] fz dz + ∫[C_ε] fz dz + ∫[I_ε,R] fz dz + ∫[Γ_R] fz dz =?[I_ε,R∪Γ_∪C_ε,R∪C_ε] fz dzだから、R→∞, ε→+0 として、1,2の結果を用いると、この式の虚部は、-4∫[x=-∞→-0] sinx^3/x^3 dx + 3π – 4∫x=0→∞] sinx^3/x^3 dx + 0 = 0∴∫[x=0→∞] sinx^3/x^3 dx=3π/8====================================複素関数fz=e^3iz-3e^iz+2/z^3を考える。但し、iは虚数単位を表す。また、Rε0に対して、Γ_R={Re^iθ∈C ;0≤θ≤π}C_ε={εe^iθ∈C ;0≤θ≤π}I_ε,R={x∈R;ε≤x≤R}J_ε,R={x∈R;-R≤x≤-ε}とし、閉曲線I_ε,R∪Γ_∪C_ε,R∪C_εに反時計回りとなるように向きを定める。以下の問に答えよ。1 lim[R→∞]∫_Γ_R fzdz を求めよ2 lim[ε→+0]∫_C_ε fzdz を求めよ3広義積分∫[0,∞] sinx^3/x^3 dxを求めよ2,3が自分で解いても答えにたどり着きません。何方か解説お願いします。====================================yyg********さん12684398123:52:13への回答

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